set de numere

Setul de numere naturale, pentru a forma numărul 1, 2, 3, 4 utilizate pentru numărarea obiectelor. Setul tuturor numerelor întregi este, de obicei, notate cu litera N:

Acest set infinit, ea are cel mai mic element 1 și are cel mai mare element. Uneori, la numerele naturale adăugate la 0, atunci acesta va fi cel mai mic element.

Addition Legile numere întregi

1. Pentru orice numere întregi a și b pozitiv, egalitatea a + b = b + a. Această proprietate se numește comutativ plus (comutativ) din lege.

2. Pentru orice număr natural. b. c egalitatea (a + b) + c = a + (b + c). Această proprietate se numește sochetalnym (asociativă) adăugarea de lege.

Legile înmulțirea numerelor naturale

3. Pentru orice numere întregi a și b pozitiv, egalitatea ab = ba. Această proprietate se numește comutativ (comutativ) legea înmulțirii.

4. Pentru orice număr natural. b. egalitatea c (ab) c = a (bc). Această proprietate se numește legea sochetalnym (asociativă) multiplicarea.

5. Pentru orice valori ale. b. c egalitatea (a + b) c = ac + bc. Această proprietate este numită lege (distributiv) multiplicarea distributiv (sub adăugare).

6. Pentru toate valorile unei egalități reale a * 1 = a. Această proprietate se numește legea înmulțirii cu unul.

Rezultatul adăugării sau înmulțirea a două numere întregi este întotdeauna un număr întreg pozitiv. Sau, cu alte cuvinte, aceste operații se poate face prin ședere în setul de numere naturale. Sub scădere și diviziunea este imposibil să spunem așa, din numărul 3 nu poate rămâne în setul de numere naturale, scade numărul 7; numărul 15 nu poate fi împărțit în 4 uniform.

Semne de divizibilitatea numere naturale

Suma Anulabilitate. În cazul în care fiecare termen este împărțit într-un număr, atunci suma se împarte la acest număr.

produs Anulabilitate. În cazul în care lucrarea este de cel puțin unul dintre factorii este divizibil cu un numar, atunci produsul este împărțit de acest număr.

Aceste condiții sunt pentru suma și pentru produs sunt suficiente, dar nu este necesar. De exemplu, produsul 12 * 18 împărțit la 36, ​​cu toate că nici 12, nici la 18 la 36 nu sunt divizate.

Divizibilitatea de 2. Pentru a efectua un număr întreg pozitiv, divizibil cu 2 dacă și numai dacă ultima cifră a fost chiar.

Divizibilitatea de 5. Pentru a efectua un număr întreg pozitiv divizibil cu 5 dacă și numai dacă ultima cifră a fost fie 0 sau 5.

Simptom divizibilitatea cu 10. La numărul natural este divizibil cu 10, este necesar și suficient ca numărul de unități a fost 0.

Simptom divizibilitatea de 4. Pentru număr natural, care cuprinde cel puțin trei cifre este divizibil cu 4, este necesar și suficient ca ultimele cifre au fost 00, 04, 08 sau două cifre numărul format de ultimele două cifre ale numărului, divizibil cu 4.

divizibilitate Simptom 2 (9). Pentru număr natural este divizibil cu 3 (9), este necesar și suficient ca suma numerelor împărțit la 3 (9).

Luați în considerare linia de număr la începutul coordonate de referință a punctului O. numărul zero va indica O. Numerele sunt situate pe linia reală într-o direcție predeterminată, numit numere pozitive. Să presupunem că pe linia de număr este setat cu coordonata punctului A 3. Aceasta corespunde unui număr pozitiv 3. Postpone acum de trei ori intervalul unității din punctul O. în direcția opusă la valoarea specificată. Apoi obținem punctul A“. Un punct simetric despre originea coordonatelor O. a punctului A „va fi numărul - 3. Această cifră 3. Numerele de aditiv invers dispus pe linia reală într-o direcție opusă numerele negative, numite specificate.

Numerele opuse formă naturală un set de numere întregi N „:

Dacă vom combina N. pluralitate N „și Singleton. obținem setul Z tuturor numere întregi:

Pentru a corecta numere întregi toate legile de adunare și înmulțire de mai sus, care sunt valabile pentru numerele naturale. În plus, adaugă următoarea scăderea a legilor:

Pentru a face fezabilă funcționarea împărțirea numerelor întregi la orice număr diferit de zero, de intrare fracție:

, în cazul în care a și b - b sunt numere întregi și nu este egal cu zero.

În cazul în care un set de numere întregi pentru a conecta mulțimea tuturor fracțiilor pozitive și negative, vom obține mulțimea numerelor raționale Q:

Mai mult decât atât, fiecare întreg este, de asemenea, un număr rațional, deoarece, de exemplu, numărul 5 poate fi reprezentat ca în cazul în care numărătorul și numitorul - întregi. Este important ca la operații cu numere raționale, dintre care una trebuie să fie un număr întreg.

Legile operații aritmetice cu numere raționale

Proprietatea principală a fracțiunilor. În cazul în care numărătorul și numitorul acestei fracțiuni înmulțit sau împărțit același număr natural, veți obține o lovitură, care este egal cu aceasta:

Această proprietate este utilizată în reducerea fracții.

Adăugarea de fracții. Adăugarea de fracțiuni se determină după cum urmează:

Adică, pentru a adăuga fracțiuni cu diferite numitori sunt reduse la un numitor comun. În practică, atunci când adiție (scădere) Fracțiile cu diferite fracțiuni numitori sunt reduse la cel mai mic numitor comun. De exemplu, ca aceasta:

Pentru a adăuga fracții cu aceleași numărătorii suficient pentru a plia numărătorul și numitorul rămân aceleași.

Multiplicarea fracțiunilor. Multiplicarea fracțiunilor se determină după cum urmează:

Aceasta este, de a multiplica o fracție cu o fracție numărătorul primei fracții este necesară pentru a se înmulțește cu numărătorul doua fracțiune și scrie produsul în numărătorul noii fracțiunii, numitorul primei fracțiuni înmulțit cu numitorul doua fracțiune și a înregistra un nou produs în numitorul fracției.

Diviziunea fracțiilor. Diviziunea fracțiunilor se determină după cum urmează:

Adică, să împartă o fracțiune de o fracțiune numărătorul primei fracții trebuie multiplicate cu numitorul doua fracțiune și produsul unei noi înregistrări în numărătorul fracției, numitorul primei fracțiuni, înmulțită cu numărătorul a doua fracțiune și produsul unei noi înregistrări în numitorul fracției.

Construcția fracțiunii de putere cu exponent natural. Această operațiune este definită după cum urmează:

Aceasta este, pentru construirea gradului de numărătorul fracției în ridicată, în gradul și numitorul este ridicat la acest grad.

zecimal repetând

Teorema. Orice număr rațional poate fi reprezentat ca o fracție periodică finit sau infinit.

Secvențial grup de cifre după virgulă în numărul zecimal repetarea se numește perioada și o fracție zecimală finită sau infinită având o perioadă într-o legătură se numește periodic.

Astfel, orice zecimală finită considerată fracție periodică infinit cu zero, în perioada, de exemplu:

Rezultatul adunare, scădere, înmulțire și împărțire (cu excepția diviziunii de zero) două - de asemenea un rationale număr rațional.

Pe linia numărul, pe care le-am luat în considerare în legătură cu setul de numere întregi poate fi punctul de a avea nici un coordonate sub forma unui număr rațional. Astfel, există un număr rațional al cărui pătrat este egal cu 2. Prin urmare, numărul nu este un număr rațional. Deoarece nu există numere raționale ale căror pătrate sunt 5, 7, 9. În consecință, sunt numere iraționale ,. Este un număr irațional și.

Nu există un număr irațional nu poate fi reprezentat ca o fracție periodică. Ele sunt sub forma unei fracții neperiodice.

Combinând seturi de numere raționale și iraționale reprezintă setul de numere reale R.

Axiomele acțiunii asupra numerelor reale

adăugarea de axiome. Pentru orice o. b. Rc din multitudinea de numere reale avem următoarele proprietăți:

IV. Pentru orice a ∈ R, există un număr b ∈ R. că a + b = 0. Acest număr se numește numărul opus b și se notează o - a.

Axioma IV permite introducerea operației de scădere în setul de numere reale pentru diferența a - b reprezintă suma a + (- b).

Axiomele înmulțirii. Pentru orice o. b. Rc din multitudinea de numere reale avem următoarele proprietăți:

VIII. Pentru orice număr nenul a ∈ R, există un număr b ∈ R. că ab = 1. Acest număr b se numește numărul invers al unei și este notat.

Axioma VIII permite exploatarea divizare introducerea în setul de numere reale sub produsul înțeles, în cazul în care b ≠ 0.

proprietate Arhimede. Pentru orice numere reale a și b pozitiv, există un număr natural n. că na> b.

Numerele complexe sunt introduse datorită faptului că un număr suficient de reale pentru a rezolva orice ecuație pătratică cu coeficienți reali. Cel mai simplu de ecuații pătratice care nu au rădăcini printre numere reale, acolo

Soluția este după cum urmează: x² = - 1. x = √-1,

√-1 aici - rădăcina pătrată din minus unu - unitatea imaginară, notată cu litera i.

numere și operații complexe pe ele au atât de multe caracteristici de mare, încât acestea sunt considerate într-un articol separat al site-ului:

Un set non-gol (de obicei numere) se numește o structură algebrică dacă se determină la operații care au anumite proprietăți. În matematică adesea considerate structuri algebrice, cum ar fi gruparea și inelul de câmp.

Grupul este un număr finit sau infinit de (de obicei numere) pe care:

1) operațiune este definit (de exemplu, înmulțire), care se poate face fără a ne îndepărta de grup;

2) pentru o multitudine de elemente este sochetalny (asociativă) Act (pentru orice a. B. C egalitatea (ab) efectuate c = a (bc)).

3) există o așa-numită singur element e;

4) Pentru fiecare element a acestui set are un element invers, astfel încât, cu talpa.

Dacă sunteți comutativ (comutativ) drept grup (pentru orice a și b, egalitatea ab = ba), atunci un astfel de grup este numit grup comutativ sau abelian.

Grupul în care operația de înmulțire se numește un grup multiplicativ. Dacă grupul este operație plus, grupul este numit un aditiv. În acest caz, un element z apare ca un singur element. și pentru fiecare element există un singur element de opus (- a), pentru care (- a) = a + a + (- a) = z.

Numerele naturale formează o grupare N împotriva înmulțirii. Adăugarea ca o operațiune de grup pe mulțimea numerelor naturale, nu este posibil să se efectueze, deoarece zero, este în afara N. set Un set de numere reale pozitive este un grup în ceea ce privește înmulțirea și mulțimea tuturor numerelor reale R - Grupul în ceea ce privește plus (pe acest set nu poate intra reciproca la zero).

Setul este numit câmp, în cazul în care acest set de cel puțin două elemente și pentru a acestora

1) o operațiune plus;

1 „) este definit prin operația de înmulțire;

2) pentru adăugarea este asociativă (asociativă) Act efectuat;

2 „) pentru multiplicarea realizată asociative (asociative) Act;

3) adăugarea executată comutativ Act (comutativ);

3 „) pentru multiplicarea efectuată comutativ (comutativ) Act;

4) operațiune scăderea este fezabilă;

4 „) este operațiune diviziunea satisfiable decât împărțirea cu zero.

Pentru orice elemente domeniu a și b există un element x. că a + x = b.

Pentru orice elemente câmp a și b există un element y. că o * y = b. dacă un ≠ 0.

Pentru un câmp în distribuția puterii (distribuție) legea de multiplicare (în ceea ce privește adăugarea): (a + b) c = ac + bc.

Face seturi de numere complexe, numere reale, numere raționale și numere întregi au o trăsătură comună: ele pot efectua operații de adunare, înmulțire și scădere, rămânând în același timp în limitele stabilite.

Fiecare set de numere care conține suma, produsul și diferența sa de oricare două numere, numit inelul.

Forma un inel, de exemplu, chiar numere. La rândul său, numere impare nu formează un inel, din moment ce cantitatea de număr impar - chiar și numărul.

structurile algebrice sunt adesea denumite simplu „algebra“. Acestea sunt utilizate în modelarea abstractă. În special, acestea pot fi aplicate în programare. De exemplu, atunci când este necesar să se stabilească normele și proprietățile oricărei structuri și să interzică adăugarea acestei structuri element care (plus) ar încălca regulile și proprietățile structurii.