Inegalitatea și inegalitatea sistemului inegalităților și a proprietăților lor
CAPITOLUL 4. inegalitatea și inegalitatea sistemului
4.1. Inegalitățile și proprietățile lor
Inegalitatea - raportul dintre numerele care indică care sunt cele mai mari (mai mari sau egale) sau mai mică (mai mică sau egală cu) cealaltă.
Înregistrarea și înseamnă că nu este egal cu.
În cazul în care semnul> este conținut în inegalitatea sau sau. iar în celălalt - semnul B și C> D au același semn, iar inegalitatea: A D - semn opus.
Proprietățile inegalități numerice.
1) Dacă a> b, atunci b b.
2) Dacă a> b și b> c, apoi a> c.
3) ^ Dacă a> b, atunci pentru orice c: a + c> b + c, adică, inegalitate rămâne valabilă în cazul ambelor părți ale acestuia pentru a adăuga același număr.
Corolar. Orice număr poate fi transferat dintr-o parte a celeilalte, schimbând semnul numărului transferat la opusul.
4) În cazul în care a> b și a> 0, atunci ac> bc; dacă a> b și b u c> d, a + c> b + d;. și anume două semn identic de inegalitate poate termwise ori dacă a> b u c b-d; Două semn opus al inegalității poate fi scădea, lăsând un semn de inegalitate, care a fost scăzută o altă inegalitate.
6) În cazul în care a, b, c, d - întregi pozitivi și a> b, c> d, ac> bd, adică același semn de inegalitate, în care partea stângă și dreaptă sunt pozitive, se poate multiplica termwise; aceasta produce semnul inegalității w e.
7) În cazul în care ^ a și b - un număr pozitiv și a> b, atunci pentru orice număr natural n, următoarea inegalitate AN> bn.
8) În cazul în care a și b - un număr pozitiv și a> b, atunci pentru orice întreg n> 2 inegalitate.
Proprietăți 1) - 8) sunt valabile și pentru inegalitățile non-stricte. Acest lucru rezultă din valabilitatea proprietăților 1) - 8) pentru inegalități stricte și cunoscute proprietățile ecuații numerice.
De exemplu, dacă a ≥ b, atunci b ≤a și invers, în cazul în care b ≤a. apoi a ≥ b.
Properties 1) - 8) montate pentru inegalități numerice reținute pentru orice inegalități forma A> B, A VA + C> B + C,
unde expresiile A, B, C sunt considerate, în partea generală a gamei lor de toleranță.
4.2. Dovada unor inegalități
Luați în considerare prima dovada a unora dintre cele mai importante inegalități.
2). în cazul în care egalitatea este atinsă numai în cazul în care numerele a și b au aceleași semne sau cel puțin unul dintre ei este zero. Deoarece, atunci inegalitatea dorită ia forma, iar această inegalitate este cvadratura la sunt echivalente, adică, ≤ ab | ab |, care este evidentă. Inegalitatea este dovedit.
3) | a - b | ≥ | și | - | b |. De fapt, a = (a - b) + b. prin urmare
4) AX2 + bx + s≥ 0 dacă a> 0 și D = b2-4as≤0. Egalitatea se realizează numai atunci când D = 0 și x =.
5) în cazul în care un ≥ 0, b este atins ≥ 0. egalitatea doar la a = b.
Numărul este media numerelor a și b, iar numerele - media lor geometrică.
Media aritmetică a două numere întregi non-negative nu mai puțin decât media lor geometrică:
Pentru a dovedi acest lucru considerăm diferența.
Prin urmare, cu egalitatea realizată numai în cazul în care este posibilă numai cu a = b.
Conceptele de media aritmetică și media geometrică care urmează să fie introduse și n numere nenegative a1, a2, .... an.V În acest caz, inegalitatea: în cazul în care egalitatea se obține numai dacă a1 = a2 = ... = o.
6) în cazul în care a> 0 și b> 0, cu egalitatea atins numai atunci când a = b. De fapt, numerele sunt pozitive. Prin urmare, numerele medii aritmetice și nu mai puțin decât media lor geometrică: sau; egalitate numai atunci când =, și anume când a = b. din moment ce a și b - sunt pozitive.
Ne întoarcem la dovada inegalităților mai complicate. Metodele de probă sunt după cum urmează:
inegalitatea dorită prin transformări bazate pe proprietățile inegalităților și păstrarea echivalenței acestora, reducerea inegalității, care este cunoscut pentru dreptate.
Prin transformări echivalente evidente sau cunoscute inegalitate redusă la inegalitatea dorită.
Se combină prima și a doua metode, adică converti atât cunoscute și au dovedit inegalitate.
Utilizarea acestor metode în exemplele următoare arată.
Decizie. Adăugat trei inegalități bine-cunoscute:
Exemplul 2 Pentru a dovedi că (a + b) (b + c) (a + c) ≥8abc. în cazul în care o, b.c≥0.
Decizie. Multiplicarea inegalitatea ,.
Exemplul 3. Pentru a demonstra că, dacă a> 0, 0 și 0, b> 0.
Decizie. Presupunând că scrie ca inegalitatea necesară (x> 0, y> 0), care este echivalent cu stadiul cunoscut al x3 + y3> xy (x + y) (vezi. Inegalitatea 7)). Inegalitatea este dovedit.
^ 4.3. inegalitatilor Solution cu o singură necunoscută
Definiția. Soluția de rezolvare a inegalității se numește valoarea de necunoscut, în care această inegalitate devine o adevărată inegalitate numerică.
* Rezolva inegalitatea - aceasta înseamnă a găsi toate valorile de necunoscut, în care această inegalitate este adevărat, sau pentru a stabili că aceste valori necunoscute nu sunt prezente.
Două inegalități se numesc echipotente dacă fiecare soluție de una dintre ele este o soluție la alta, și vice-versa. Dacă ambele inegalități nu au soluții, acestea sunt, de asemenea, echivalente. De exemplu, x2 + x4 + 1 4. 0.
Această inegalitate poate fi scrisă în formă de topor> -B. Prin urmare, dacă obținem un> 0. iar dacă 0, dacă este un 3 (x - 2) - 4 (x + 1).
Noi simplifica ambele părți ale inegalității: dezvăluie parantezele și termeni similari. Noi obținerea a 2 - 6 - 1> 3 - 6 - 4 - 4 2x-7> din 10. 3 -x> -3; Aceasta înseamnă că x> -1 - inegalitățile de gradul întâi.
Setul tuturor numerele întregi x care satisfac inegalitatea x> - 1. reprezentate pe axa reală a fasciculului (-1; + ∞).
Exemplul 1. Solve inegalitățile 2 (x - 1) + 1> 3 - (1 - 2).
Decizie. Simplificând inegalității, obținem 2 - 2 + 1> 3 - 1 + 2,
2x-2x> 2 + 1 sau 0> 3. Această inegalitate nu are soluții, ca și partea stângă este egală cu zero pentru orice x, iar inegalitatea 0> 3 - greșit.
Răspunsul poate fi scris pe scurt ca: (fără decizii).
^ 4.3.2. inegalitate pătrat
inegalitate pătrat sau inegalitate numit al doilea grad formă inegalitate AX2 + bx + c V 0 (a ≠ 0); unde a, b, c - predeterminat număr, x - necunoscut, iar simbolul V poate fi oricare dintre etichete> 2 + bx + c (a ≠ 0). Introducerea și evidențierea parantezele și pătratul completă, scrie trinomul pătratică sub formă de:
unde D = b2-4as - discriminantul polinom pătratic. În următoarele cazuri:
b) în cazul în care un 2 + bx + c 2. Rezultă că, în cazul
D = b2-4ac 2 + bx + c> 0 și AX2 + bx + c ≥ 0 soluție sunt toate numerele x reale pentru a> 0 și nu au soluții pentru o bx 2-4as + c 2+ 2+ bx + c nu ≤0 soluțiile sunt> 0 și sunt toate soluție valabilă pentru un număr de x 2; când se presupune valoarea zero.
Prin urmare, în cazul ^ D = 0: 1) inegalitate AX2 + bx + c> 0 este orice soluție, dacă a> 0, și nu are soluții, dacă a2 + bx + c 0;
3) inegalitatea AH2 + bx + s≥ 0 are orice soluție x. dacă a> 0. și o soluție unică, în cazul în care a2 + bx + c 0 ≤ x este orice soluție. în cazul în care un 0.
III. D> 0. În acest caz, trinom pătrat poate fi factorizat: AH2 + bx + c = a (x-x1) (x-x2), unde x1 și x2 - AH2 polinom pătratic reale și rădăcini distincte + bx + c = 0.
Noi oferim o interpretare geometrică. Programeaza quadratic polinomială y = AX2 + bx + c (a ≠ 0) este o parabolă. Poziția acestei parabole în raport cu axa x pentru diferite cazuri este prezentată în Fig. 4.1.
mod de grafică pentru rezolvarea inegalităților pătratice vor fi abordate în 4.7.
Exemplu. Rezolva inegalitatea:
a) x 2 - 5x + 6> 0; b) -2x 2 + x + 1 ≥ 0; c) -2x 2 + x - 1 0; rădăcini polinomiale pătratice sunt reale și distincte: x1 = 2, x2 = 3. În consecință, h2-5h + 6 = (x2) (x 3), iar această inegalitate devine (x2) (x - 3)> 0.
Soluționarea inegalității este numărul x 3 (atât factorul pozitiv și produsul pozitiv lor).
b) D = 1 -4 ∙ (-2) = 9> 0; rădăcini pătratice polinomiali sunt reale și distincte: în cazul în care în consecință, avem .sau (prin împărțirea pe ambele părți ale inegalității de un număr negativ semnul inegalității este inversat). Inegalitatea satisfac toate numerele din intervalul
a) D = 1 - 4 ∙ (-2) (-1) 2 negativ. trinom pătrat -2h2 + x - 1 pentru orice x ia numai valori negative.
Răspuns. x - orice număr.
^ 4.4. Sisteme de inegalități într-o singură necunoscută
Să câteva inegalități cu o singură necunoscută.
Combinația acestor inegalități se numește sistemul de inegalități cu o singură necunoscută. Soluția sistemului - este valoarea de necunoscut, în care toate sistemele de inegalitate sunt de cotitură în inegalitatea numerică corectă.
Rezolva sistemul inegalităților - aceasta înseamnă să găsească toate soluțiile sistemului sau pentru a stabili că acestea nu sunt.
Două sisteme de inegalități numite echipotente dacă fiecare soluție de una dintre ele este o soluție la alta, și vice-versa. Dacă atât sistemul de inegalități nu au soluții, ele sunt, de asemenea, considerate a fi echivalente.
Exemplu. Rezolva sistemul inegalităților
Decizie. Să ne rezolve mai întâi inegalitatea: Sx -2-4. Acesta este valabil pentru x> -2. Rezolvăm a doua inegalitate: 2x-1>-5x 4 -3H-> -3, x 0 este același cu dubla inegalitate
și anume dacă a> 0, inegalitatea (4.5.1) este echivalentă cu inegalitatea (4.5.2).
Într-adevăr, dacă x> 0, | x | = X; inegalitatea | x | și (4.5.3)
unde a> 0 indică faptul că x> a și x o; dacă x sau x și (a> 0), atunci, în mod evident, | x |> a; în cazul în care x este 0), -x> și sau | x |> a.
Astfel, condiția | x |> a (a> 0) înseamnă că pe axa x reală se află la dreapta sau la stânga fie punctului s (Figura 4.4.).
Exemplu. Pentru a rezolva inegalitatea | 2x -3 | ≤5.
Decizie. Prin proprietatea 1) Această inegalitate este echivalentă cu dublă inegalitate -5≤2h-3≤5. Deoarece dubla inegalitate --5≤2h-3≤5 înseamnă însemnare două inegalități -5 ≤ 2x - 3 și 2 - 3 ≤5. este posibil să se aplice proprietățile de bază ale inegalităților. Se adaugă la fiecare parte a inegalității - 5≤2h - 3≤5 numărul 3. get -2≤2h≤8 în cazul în care împărțirea fiecare parte a numărului 2, constatăm că 1 ≤x≤4. O multitudine de soluții este intervalul [-1; 4].
Exemplu. Pentru a rezolva inegalitatea | 1 - x |> 3.
Decizie. Din moment ce | 1 -x | = | x-1 |, avem | x - 1 |> 3. Conform Property 2) Această inegalitate este satisfăcută numai când x - 1> 3 sau x - 1 x 4 sau 4 x 2 + 4 + 4 + 2 2 3 2. Găsiți rădăcinile x1 = 1 și x2 = 2 pentru a se descompune multiplicatorii pătrat trinomial: x2 + 3 2 = (x1) (x2).
X = 1 și x = 2 este împărțită în trei axe interval numeric. Din extinderea polinomului pătratic, rezultă că, în fiecare dintre aceste intervale trinom își păstrează semnul său. Dacă mutați de-a lungul axei reale de la stânga la dreapta, semnul polinomului pătratic se va schimba: plus, minus, plus, schimbarea semn apare numai atunci când trece prin rădăcina trinomul. Șirul de caractere este prezentat în Fig. 4.5.
Piața trinomial x2 + 2x 1 = (x - 1) 2, atunci când trece prin punctul x = 1 (trinomul root) nu se schimbă semnul (Figura 4.6.).
Pentru soluția de forma (4.6.1) prin inegalitățile intervale ar trebui să fie:
găsi toate rădăcinile reale ale polinoamelor P (x), Q;
lasa doar din rădăcini descoperite de cei care nu sunt, de asemenea, rădăcinile polinoamelor P (x) și Q (x) și de a asigura aceste rădăcini în ordine crescătoare: x12 + 2x + 2 și - 2x2 + x-1 negativ. De aceea trinom ia valori de același semn, care coincide cu semnul coeficientului lui x 2:. x2 + 2x + 2> 0. -2h2 + x - 1 martie ca "puncte de test" poate lua x = 0; x = 1,5; x = 2,5; x = 4. La punctul x = 0 fracțiune; Aceasta înseamnă că atunci când x 2≥ 0 (x - 3) 4≥ 0, (x + 2) 3 cu același semn (x + 2) pentru fiecare x; x = 0 - soluție din această inegalitate, când x = 1, x = - 1, x = 3 fracție devine fără sens. obținem inegalitatea
și l-am rezolvat prin intervale (Fig. 4.8). Avem ≤h 3 -2.
^ 4.7. Soluție grafică a inegalităților și a sistemelor lor
4.7.1. Inegalitățile cu o singură necunoscută și sistemele lor
Example1. Rezolva grafic inegalitatea - 3h2- 5x + 2> 0.
Decizie. Grafic -3h2- trinomial y = 5x + 2 - parabole ramuri din care sunt îndreptate în jos. Noi găsim rădăcinile trinomul: x1 = - 2 și x2 = 1/3. De aceea parabole intersectează axa x la aceste puncte (Fig. 7.9). 5x inegalitate -3h2- + 2> 0 satisfac acele valori ale lui x. punct în care parabolei se află deasupra axei x, adică, acest număr x. că 1 -2.
dreapta x + 2y Construit> 1. Această linie nu trece prin origine. Prin urmare, ca un punct de control este recomandabil să se ia punctul O (0, 0). Substituind coordonatele punctului O (0, 0) în inegalitatea, obținem inegalitatea incorectă 0> 1. Aceasta înseamnă că punctul O (0, 0) nu aparține soluțiilor de inegalitate. Cu alte cuvinte, semiplanul, definit de inegalitatea nu conține punctul O (0, 0). Fig. 4.11 este necesar pe jumătate umbrită.
În general, setul de inegalități ale soluțiilor este regiunea mărginită sau nelegata a X0Y plane. linie, punct, vidă.
Exemplul 2: rezolva grafic sistemul inegalităților
Decizie. Deoarece x 2 + y 2. Setul soluție de inegalități x + y 2, iar linia y = x - 1. Setul dat de un sistem de inegalități, constă în punctele situate pe parabolei y = 1 - x2 sau mai jos și simultan linie dreaptă y = x -1 sau deasupra (Figura . 4.13).