Funcția de distribuție - studopediya

modalitate flexibilă de stabilire a legii de distribuție, potrivite pentru discret și pentru variabile aleatoare continue este funcția de distribuție.

Funcția variabila aleatoare X este funcția F (x), determinarea pentru fiecare valoare x probabilitatea ca variabila aleatoare X are o valoare mai mică de x. care este

Principalele proprietăți ale funcției de distribuție F (x):

1. Deoarece, prin definiție, F (x) este evenimentele de probabilitate, toate valorile posibile ale funcției de distribuție aparține intervalului [0; 1]:

2. În cazul în care. atunci. adică, F (x) - o funcție non-descrescătoare a argumentului său.

3. Probabilitatea ca o variabilă aleatoare are o valoare care aparține intervalului [a. b), egală cu o creștere a funcției de distribuție în acest interval:

4. În cazul în care toate valorile posibile ale variabilei aleatoare aparțin intervalului [a. b], atunci

Funcția de distribuție a variabilelor aleatoare discrete poate fi definită prin formula

Dacă știți numărul de distribuție a unei variabile aleatoare discrete, este ușor să se calculeze și de a construi funcția sa de distribuție. Noi putem demonstra modul în care acest lucru se face în exemplul 23.

Exemplul 25. Pentru a calcula și construi funcția de distribuție pentru o variabilă aleatoare discretă, în care legea de distribuție este de forma:

Figura 8 - Distribuția Funcție

În general, funcția de distribuție F (x) a unei variabile X aleatoare discrete este o funcție pas discontinuu, stânga continuu, salturi care apar la punctele care corespund valorilor posibile ale x1. x2. ... și variabila aleatoare X probabilități egale p1. p2. ... aceste valori.

Funcția de distribuție a variabilelor aleatoare continue. Acum puteți da o definiție mai precisă a variabilelor aleatoare continue: variabila aleatoare X este continuă. dacă funcția F (x) de distribuție pentru toate valorile lui x este continuu și, în plus, are un derivat pretutindeni, cu excepția punctelor poate separate.

Deoarece continuitatea F (x), probabilitatea fiecărei valori individuale a variabilei aleatoare continuă este egal cu zero.

Deoarece probabilitatea fiecărei valori individuale a unei variabile continue este 0, proprietate de 3 Funcția de distribuție pentru o variabilă aleatoare continuă este de forma

Exemplul 26 lovit probabilitate pentru fiecare dintre cele două shootere sunt, respectiv: 0,7; 0.6. Variabila aleatoare X - numărul de ratări, cu condiția ca fiecare shooter făcut de o singură lovitură. Creați o serie de X. variabile aleatoare a construi un grafic cu bare și o funcție de distribuție.

Decizie. Posibilele valori ale aleatoare X. variabila 0, 1, 2. Condiții sarcini pot fi privite ca o serie de n = 2 studii independente. În acest caz, pentru calcularea probabilităților de valori posibile ale variabilei aleatoare X poate utiliza probabilitatea de plus incompatibile Teoreme evenimente și multiplicarea probabilitatea unor evenimente independente:

Sub condiția, probabilitatea A1P evenimentului (A1) = 0,7, evenimente probabilitate A2 - P (A2) = 0,6. Apoi probabilitățile de evenimente complementare :. .

Definim toate evenimentele elementare ale unui experiment aleator și probabilitățile corespunzătoare:

funcția densității de probabilitate a unei variabile continue.

distribuție continuă probabilitate densitatea variabila aleatoare X la un punct x este derivata funcției sale de distribuție în acest moment:

În valorile sale semnificația funcției f (x) proporțională cu probabilitatea ca valoarea testată a variabilei aleatoare ia undeva în vecinătatea punctului x.

Funcția de distribuție de densitate f (x), precum și funcția de distribuție F (x), este o formă de drept distribuție de locuri de muncă, dar este aplicabilă numai pentru variabile aleatoare continue. funcția densității de probabilitate f (x) se numește funcția de distribuție diferențială. în timp ce funcția de distribuție F (x) sunt numite, respectiv, funcția de distribuție cumulativă.

Densitatea graficului funcției de distribuție f (x) se numește curba de distribuție.

Luați în considerare proprietățile pe care le are funcția unei distribuții de densitate variabilă continuă.

Proprietatea 1. Funcția de densitate de probabilitate - funcția negativă:

(Geometric: curba de distribuție nu este abscisă inferior).

Proprietatea 2. Probabilitatea unei valori a variabilei aleatoare la locul lui b se determină prin formula

(Geometric: această probabilitate este egală cu aria trapezului curbată delimitată de curba f (x), axa x și linii drepte x = a și x = b).

(Geometric. Zona figurii delimitată de curba de distribuție și axa abscisei este egală cu unitatea).

În special, în cazul în care toate valorile posibile ale variabilei aleatoare aparțin intervalului [a. b], atunci

Proprietatea 4. Funcția de distribuție F (x) poate fi găsit de funcția de densitate cunoscută, după cum urmează:

Exemplul 27. continuu variabilă aleatoare dată funcția de distribuție

Se determină funcția diferențială a distribuției densității.

Decizie. Definim funcția de distribuție diferențiată a densității

Exemplul 28. este funcția de densitate a unei variabile aleatoare, fiecare dintre următoarele funcții?

Decizie. a) să verifice validitatea 3 proprietăți:

În acest caz, avem

Funcția este non-negativă pentru toate x. Aceasta este o anumită funcție este o funcție a distribuției densității unei variabile aleatoare.

b) Funcția dorită nu este distribuția densității unei variabile aleatoare de atunci.

c) verifică validitatea 3 proprietăți:

În acest caz, avem

Funcția este non-negativ pentru toți. Aceasta este o anumită funcție este o funcție a distribuției densității unei variabile aleatoare.

Întrebări pentru auto-control

1. Ceea ce se numește o variabilă aleatoare?

2. Ce cantități sunt numite discrete? continuă?

3. Ceea ce se numește legea variabilei aleatoare?

4. Care sunt modurile în care legea de distribuție a unei variabile aleatoare discrete pot fi setate? continuă?

5. Ceea ce caracterizează funcția de distribuție F (x) a unei variabile aleatoare?

6. Cum se determină probabilitatea unei valori a unei variabile aleatoare într-un anumit interval utilizând funcția de distribuție?

7. Ce caracterizează funcția de densitate variabilă aleatoare? Se specifică sensul său probabilistă.

8. Pentru ce valori determinate funcția de densitate de probabilitate?

9. Poate funcția de densitate de probabilitate au valori negative?

10. Care este relația dintre o funcție F (x) și f (x)?

11. Care sunt variabilele aleatoare sunt numite continuu?

12. Care este aria figurii delimitată de curba și distribuția axa x?

13. Cum se determină probabilitatea unei variabile aleatoare continuă a unei valori într-un anumit interval folosind funcția de distribuție de densitate?