Funcția de distribuție a variabilei aleatoare
Mai multe materiale:
Am constatat că un număr de distribuție este complet caracterizat printr-o variabilă aleatoare discretă. Cu toate acestea, această caracteristică nu este universală. Ea există doar pentru valori discrete. Pentru o serie continuă de valori ale distribuției nu poate fi construit. Într-adevăr, variabila aleatoare continuă are un număr infinit de valori posibile, care umple complet o anumită perioadă. Creați un tabel în care toate valorile posibile ale acestei magnitudine nu poate fi ar fi listate. În consecință, pentru o variabilă aleatoare continuă, nu există nici o serie de distribuție în sensul în care există o valoare discretă. Cu toate acestea, diferite regiuni ale valorilor posibile ale variabilei aleatoare nu sunt la fel de probabil, și o valoare continuă încă există „distribuție de probabilitate“, deși nu în sensul ca să fie discret.
Pentru a cuantifica caracteristicile distribuției de probabilitate care nu este de natură să utilizeze evenimentul P (X = x), care constă în aceea că o variabilă aleatoare are o anumită valoare a lui x. și probabilitatea evenimentului P (X <х ), состоящего в том, что случайная величина примет значение меньшее х. Очевидно, что вероятность этого события зависит от х. т.е. является некоторой функцией от х .
Definiția. Funcția de distribuție a variabila aleatoare X este funcția F (x), care exprimă, pentru fiecare valoare x probabilitatea ca variabila aleatoare X are o valoare mai mică decât x:
Funcția de distribuție este, de asemenea, numită funcția de distribuție cumulativă sau legea distribuției cumulative.
Funcția de distribuție - majoritatea caracteristicilor universale ale variabilelor aleatoare. Ea există pentru toate variabilele aleatoare: atât discret și continuu. Funcția de distribuție caracterizează complet o variabilă aleatoare cu un punct de probabilitate de vedere, și anume, Este o formă de distribuție.
Funcția de distribuție are o interpretare geometrică simplă. Să considerăm o variabilă aleatoare X pe axa x (fig. 4.2), care poate lua o anumită poziție, ca rezultat al experienței. Să presupunem că la punctul de axa este selectată având valoarea x. Apoi, ca urmare a trece printr-o variabila aleatoare X poate fi la stânga sau la dreapta punctului x. Evident, probabilitatea ca o variabila aleatoare X va fi la stânga lui x. Aceasta va depinde de poziția x. și anume să fie o funcție a argumentului x.
Pentru o variabilă aleatoare X discretă, care poate lua valori x1. x2. ..., xn. Funcția de distribuție are forma
unde xi inegalitatea <х под знаком суммы означает, что суммирование касается всех тех значений xi . величина которых меньше х .
Exemplul 4.2. numărul de distribuție Dan a variabilei aleatoare X.
Exemplul 4.3. Funcția de distribuție a variabilei aleatoare X este:
Găsiți probabilitatea ca variabila aleatoare X ia valoarea în intervalul [1; 3).
Pentru variabile aleatoare continue au următoarea proprietate: Probabilitatea de orice valoare unică a unei variabile continue este zero.
Să ne explicăm această proprietate. Pana acum am considerat cazuri de testare este redusă la schema, și probabilitatea de zero are evenimente doar imposibile. Din proprietățile de mai sus, rezultă că ar putea avea probabilitate zero și evenimente posibile. La prima vedere, această concluzie poate părea paradoxal. Într-adevăr, în cazul în care, de exemplu, un eveniment # 945; ≤ X ≤ # 946; are o probabilitate nenulă, se pare că este suma evenimentelor, care constă în a face o variabila aleatoare X este orice valori specifice ale intervalului [# 945;. # 946; ] Și au o probabilitate de zero.
Cu toate acestea, prezentarea evenimentului, care are un non-zero, probabilitate, dar este format din evenimente cu probabilitate de zero, nu mai paradoxal decât ideea unui segment având o anumită lungime, în timp ce nici unul dintre punctele de lungimea segmentului non-zero nu este. Segmentul este format din astfel de puncte, dar lungimea sa este egală cu suma lungimii lor.
Această proprietate presupune următorul corolar.
Sledstvie.Esli X - variabilă aleatoare continuă, probabilitatea de contact de o asemenea magnitudine în intervalul (. X1, X2) este independent dacă intervalul este deschis sau închis: