ecuația pătratică

ecuația de gradul doi - este ușor de rezolvat! * În continuare în "CS" text. Prieteni, s-ar părea că ar putea fi în matematică mai ușor decât soluția acestei ecuații. Dar ceva îmi spune că, odată cu el mulți oameni au probleme. A decis pentru a vedea cât de multe afișări sunt disponibile la cerere, într-o lună dă Yandex. Iată ce sa întâmplat, să ia o privire:

Ce înseamnă? Acest lucru înseamnă că aproximativ 70.000 de persoane pe lună în căutarea pentru aceste informații, cu ea în această vară, și care va fi printre anul universitar - este de două ori mai multe cereri. Acest lucru nu este surprinzător, pentru că acei băieți și fete care au absolvit liceul de mult și să se pregătească pentru examen, uita-te pentru aceste informații, și, de asemenea, studenții dornici să reîmprospăta memoria sa.

Pătratic ecuația - ecuația de forma:

unde coeficienții a, b și c sunt numere arbitrare cu un ≠ 0.

Materialul curs școlar prezentat în forma următoare - ecuații condiționate este împărțită în trei clase:

1. Ei au două rădăcini.

2. * Au doar o singură rădăcină.

3. Nu au rădăcini. Este demn de subliniat faptul că ei nu au rădăcini reale

Să fie atât de mult timp. * În continuare, voi explica incorectitudinea celui de al doilea paragraf.

Cum sunt rădăcinile? Simplu!

Calculăm discriminante. Sub acest cuvânt „teribil“ este destul de o formulă simplă:

Formula Root sunt după cum urmează:

* Aceste formule trebuie să știe pe de rost.

Puteți doar să scrie și de a rezolva:

Mai mult, nu este greu de observat că numărul de zerouri depinde de cea a discriminante:

1. Dacă D> 0, ecuația are două rădăcini.

2. În cazul în care D = 0, ecuatia are o radacina.

3. În cazul în care D <0, то уравнение не имеет действительных корней.

Să considerăm ecuația:

Cu această ocazie, atunci când discriminant este zero, într-un curs de școală se spune că se pare o rădăcină, aici este egal cu nouă. Bine, e drept, dar ...

Acest punct de vedere este ceva mai corect. De fapt, avem două rădăcini. Da, nu fi surprins, avem două rădăcini egale, și să fie matematic exacte, atunci răspunsul ar trebui să fie scrise două rădăcini:

Dar acest lucru este atât de - o scurtă digresiune. Școala poate înregistra și spune că rădăcina unuia.

Acum, următorul exemplu:

După cum știm - rădăcina unui număr negativ nu poate fi scos, astfel încât soluțiile în acest caz.

Aici, în tot soluțiile generale de proces, apoi, și.

Iată cum arată soluția geometrica. Este extrem de important să se înțeleagă (în viitor, într-unul dintre articole, vom investiga în detaliu soluția de inegalitate pătratice).

Acest tip de funcție:

unde x și y - variabile

a, b, c - numerele date, la ce ≠ 0

Graficul este un parabole:

Asta este, se pare că rezolvarea KU atunci când „y“ este egal cu zero, noi, de fapt, vom găsi punctul de intersecție al parabolei cu Ox. Aceste puncte pot fi două (discriminant este pozitiv), unul (discriminante este zero) și audio (discriminant negativ). Detalii despre funcția trinom poate vedea articolul Inna Feldman.

* Ai putea imediat la stânga și din partea dreaptă a ecuației împărțit la 2, care este de a simplifica. Calculele vor fi mai ușor.

D = b 2 -4ac = (- 22) 2 -4 ∙ 1 ∙ 121 = 484-484 = 0

Ai înțeles x1 = 11 și x2 = 11

Răspunsul este permis să scrie x = 11.

Exemplul 3: 2 Reshitx -8x + 72 = 0

D = b 2 -4ac = (- 8) 2 -4 ∙ 1 ∙ 72 = 64-288 = -224

Discriminantul este negativ, soluțiile în numere reale acolo.

Răspuns: nu există nici o soluție

Discriminantul este negativ. Există o soluție!

Aici ne vom concentra pe rezolvarea ecuației, în cazul în care se dovedește discriminant negativ. Știi ceva despre numere complexe? Nu voi detalia aici pentru a vorbi despre ce și cum s-au ridicat și care este rolul lor specific și nevoia de matematică, acesta este un subiect pentru un articol separat mare.

Conceptul unui număr complex.

Recomandare: Nu încercați să prezinte un număr complex în viața reală, ar fi ca să-și imagineze infinit, a patra dimensiune, sau ceva dincolo de conștiința noastră.

număr complex z este numărul de specii

în cazul în care a și b - sunt numere reale, i - așa-numita unitate imaginară.

a + bi - Acesta este un singur număr, nu plus.

Unitatea imaginară este egală cu rădăcina pătrată minus unu:

Acum, ia în considerare ecuația:

Am primit două rădăcini conjugate.

ecuația pătratică incompletă.

Să considerăm cazul special când raportul este «b» sau «c» este egal cu zero (sau ambele sunt egale cu zero). Acestea sunt rezolvate cu ușurință, fără nici un discriminant.

Cazul 1. Coeficientul b = 0.

Ecuația devine:

4x 2 -16 = 0 => 4x 2 = 16 => x = 2 4 => x1 = x2 = -2 2

Cazul 2. Coeficientul c = 0.

Ecuația devine:

Transformarea, se descompun în factori:

* Produsul este zero, atunci când cel puțin unul dintre factorii este zero.

9x 2 -45x = 0 => 9x (x-5) = 0 => x = 0 sau x 5 = 0

Cazul 3. Coeficienții b = 0 și c = 0.

Aici este clar că soluția ecuației va fi întotdeauna x = 0.

Proprietăți utile și modele de coeficienți.

Există proprietăți care permit să rezolve ecuația cu coeficienți mari.

Aceste proprietăți de ajutor pentru a rezolva anumite tipuri de ecuații.

Suma coeficienților egal cu 5001 + (- 4995) + (- 6) = 0, atunci

1. Dacă în ecuația ax 2 + bx + c = 0, coeficientul «b» este egal cu (1 și 2), și „c“ este numeric egal cu coeficientul „un“ coeficient, rădăcinile sale sunt

Exemplu. Să considerăm ecuația 2 + 6x + 6 = 37h 0.

2. Dacă ecuația ax 2 - bx + c = 0, coeficientul «b» este egal cu (1 și 2), iar coeficientul „c“ este numeric egal cu coeficientul „a“, atunci rădăcinile sunt

Exemplu. Să considerăm ecuația 2 -226h 15x 15 = 0.

3. Dacă în ecuația ax 2 + bx - c = 0, coeficientul «b» este egal cu (2 - 1) «c» coeficient și numeric egal cu coeficientul «a», atunci rădăcinile sunt

Exemplu. Luați în considerare ecuația 17x 2 + 288h - 17 = 0.

4. Dacă în ax ecuația 2 - bx - c = 0, coeficientul «b» este egal cu (2 - 1), iar coeficientul este numeric egal cu coeficientul „a“, atunci rădăcinile sunt

Exemplu. Luați în considerare ecuația 10x 2--10 99h = 0.

Vieta teorema este numit după celebrul matematician francez Fransua Vieta. Folosind teorema lui Vieta, putem exprima suma și produsul din rădăcinile termenilor KU arbitrare ale coeficienților săi.

Teorema: Fie pătratic ecuația AX 2 + bx + c = 0 are rădăcini x1 și x2. togdaspravedlivy formula Wyeth

Răspunsul nu este dificil de identificat, opțiunile următoarele lucrări

45 = 1 45 = 45 ∙ ∙ 3 15 45 5 ∙ = 9.

In total, numărul 14 este dat doar 5 și 9. Este rădăcinile. La o anumită abilitate, folosind teoria reprezentărilor, multe ecuații pătratice puteți rezolva dintr-o dată pe cale orală.

Teorema vieta, în afară. convenabil, deoarece, după rezolvarea unei ecuații pătratice în mod obișnuit (prin discriminant) obținute rădăcini pot fi verificate. Vă recomandăm să o fac întotdeauna.

În această metodă, coeficientul „a“ înmulțit cu un termen constant, deoarece au fost „fiind transferate“ la ea, și, prin urmare, acesta este denumit „transfer“. Această metodă este folosită atunci când puteți găsi cu ușurință rădăcinile ecuației folosind teorema lui Vieta, și, cel mai important, discriminante are un pătrat exactă.

Dacă un ± b + c ≠ 0, se utilizează transferul de recepție, de exemplu:

Prin Wyeth teoremei în ecuația (2), este ușor să se determine x1 = x2 = 1 10

Rădăcinile obținute trebuie împărțit la doi (din cauza x2 „aruncat“ doiar), obținem

Care este rațiunea? Uite ce se întâmplă.

Discriminant ecuațiile (1) și (2) sunt:

Dacă te uiți la rădăcinile de ecuații, veți obține numai diferite numitorii, iar rezultatul depinde de coeficientul lui x 2.

Al doilea (modificat), rădăcinile se obțin 2 ori mai mult.

Și pentru că rezultatul este împărțit la 2.

* Dacă vom arunca trei, apoi împărțiți rezultatul de 3, etc.

Importanța sa va spun pe scurt - trebuie să fie capabil să rezolve rapid și fără ezitare, rădăcinile și cu formula discriminantă este necesar să se cunoască pe de rost. Foarte multe dintre sarcinile care fac parte din sarcinile de examen sunt reduse la soluția ecuației pătratice (inclusiv geometric).

Ce este demn de remarcat!

1. Forma ecuației poate fi „implicit“. De exemplu, ia în considerare această intrare:

2 15+ 9x - 45x = 0 sau 42 + 15x 2 + 9x - 45x = 0 sau 15 -5x + 10x 2 = 0.

Ai nevoie să-l aducă la formularul standard (a nu se confunda cu decizia).

2. Rețineți că este o cantitate necunoscută, și se poate face referire la orice altă literă - t, q, p, h, și altele.

3. Dacă aveți un discriminantă mare, atunci vezi cum poți extrage o rădăcină fără un calculator.

Obțineți materiale articol în format PDF

Cu stimă, Aleksandr Krutitskih.

De ce anume ar trebui să ecuații pătratice, ni se spune, „în general“, și că, în construcția și sport (puteți face fără sport, asa sport -), dar, de asemenea, în altă parte. Dar nu am găsit un singur profesor. care ar fi într-un proiect specific, în viața reală într-adevăr a arătat. asta pentru că trebuie să știți și să decidă pentru acest tip de sarcină. De ce nu se dezvolta cu elevii astfel de proiecte vitale. și apoi vor învăța semnificația sinusurilor și parabolei și ecuațiile pătratice. dar acum doar exerciții pentru minte, dar în acest caz integrame util)

Vă voi spune „secretul“ - fără școală și fără nici un fel de cunoștințe de bază, puteți trăi o viață perfect fericit. Nu poți merge la școală. Și nu pot face sport - la urma urmei, poți trăi fără ea, și mai mult, fără ca multe.

• numere Sarcini

№1 №2 №3 №4 №5 №6 №7 №8 №9 №10 №11 №12 №13 №14 №16 №12 Baz

Prieteni! Pentru a vă cererea umană: Copiați materialul - a pus un link. Vă mulțumim! Aleksandr Krutitskih.