Curbele de ordinul al doilea
Curbele de ordinul doi în planul menționat la liniile definite de ecuațiile în care variabilele x și y coordonatele sunt conținute în al doilea grad. Acestea includ o elipsă, hiperbolă și parabole.
Forma generală a doua curbă ordine din următoarele:
în care A, B, C, D, E, F - numărul și cel puțin unul dintre coeficienții A, B, C nu este egal cu zero.
La rezolvarea problemelor cu curbele de ordinul al doilea este cel mai adesea considerată ecuația canonică a unei elipse, parabole și hiperbolă. Acestea ușor pentru a merge din ecuațiile generale, va fi dedicată problemelor din exemplul 1, cu elipse.
Determinarea elipsei. Elipsa este mulțimea tuturor punctelor în plan, astfel încât suma distanțelor la punctele numite focare, este constantă și mai mare decât distanța dintre focare.
Focalizeazã sunt marcate ca în figura de mai jos.
Ecuația Canonical unei elipse este:
în care a și b (a> b) - .. semiaxes de lungime, adică jumătate lungimile segmentelor tăiate de elipsa pe axele de coordonate.
O linie care trece prin focarele elipsei, este axa de simetrie. O altă axă de simetrie a elipsei este linia care trece prin punctul median perpendicular pe acest segment. Punctul cu privire la intersecția acestor linii este centrul de simetrie al elipsei, sau pur și simplu centrul elipsei.
Axa abscisei intersectează elipsei la punctele (a O.) și (- a. O), iar axa ordonatei - punctele (b O.) și (- b. G). Aceste patru puncte sunt numite vârfurile elipsei. Segmentul dintre vârfurile elipsei pe axa x se numește axa mare, iar axa ordonatei - axa minoră. lungimea lor din partea de sus la centrul elipsei sunt numite semi-axe.
Dacă a = b. atunci ecuația ia forma unei elipse. Această ecuație este raza unui cerc. Astfel, un cerc - cazul special al unei elipse. Elipsa poate fi obținută din circumferința rază. atunci când îl stoarce într-un ori / b-a lungul axei Oy.
Exemplul 1. Verificarea dacă linia definită de ecuația generală, elipsă.
Decizie. Noi producem ecuația totală de conversie. Se aplica transferul termenului liber în partea dreaptă, termenul de diviziune pe termen lung a ecuației pe același număr și fracțiile reducătoare:
Răspuns. Ecuația rezultată este ecuația de transformare a canonice elipsei. Prin urmare, această linie - elipsă.
Exemplul 2. Crearea ecuația canonică a unei elipse când semiaxes sale sunt, respectiv, 4 și 5.
Decizie. Ne uităm la canonic elipsa formula uraveniya și se înlocuiește cu: axa semimajore - este semiaxis o = 5. mai mici - este b = 4. Se obține ecuația canonică necesară a unei elipse: