Aria triunghiului 3

Mai jos sunt formule arbitrare zone triunghi găsirea care sunt potrivite pentru a găsi orice zonă de triunghi, indiferent de proprietățile sale, sau dimensiuni colțuri. Formulele sunt prezentate sub formă de imagini, aici explică modul de utilizare sau de a justifica corectitudinea lor. De asemenea, pe o figură separată prezintă potrivirea literelor în formulele și simbolurile grafice din desen.

Notă. Dacă triunghiul are proprietăți speciale (isoscel dreptunghiulare, echilateral), puteți utiliza formulele de mai jos, și suplimentare speciale, numai pentru triunghiurile cu aceste proprietăți, cu formula:

Formula suprafață a unui triunghi

Explicarea formulelor.
a, b, c - lungimea laturilor unui triunghi, o zonă dorim să găsim
r - raza incircle
R - raza cercului în jurul triunghiului
h - înălțimea triunghiului, a scăzut la partea
p - jumătate de perimetru al triunghiului, suma 1/2 din laturile sale (perimetru)
α - unghi, vizavi de o latură a triunghiului
β - unghiul opus latura triunghiului b
γ - unghiul de triunghi opus lateral c
ha.hb, hc - înălțimea triunghiului, lăsați în jos partea unui. b. c

Vă rugăm să rețineți că aceste denumiri corespund figurii, care este mai mare decât cea în rezolvarea real pe geometria problemei vizual mai ușor să înlocuiască în locurile potrivite cu formula valorile corecte.

• Suprafața unui triunghi este egală cu jumătate din produsul din înălțimea triunghiului la lungimea laturii pe care este coborâtă această înălțime (Formula 1). Corectitudinea acestei formule poate fi înțeles în mod logic. Înălțimea, a scăzut pe substrat se va rupe triunghi arbitrar în două dreapta. Daca termina fiecare dintre ele într-un dreptunghi cu dimensiunile b și h, apoi triunghiuri, evident, zona de date este egal cu exact jumătate din suprafața unui dreptunghi (Spr = bh)
• Aria triunghiului este egală cu jumătate din produsul a două laturi prin sinusul unghiului dintre ele (Formula 2) (a se vedea. Exemplu de rezolvare a problemei folosind formula de mai jos). În ciuda faptului că se pare că, spre deosebire de cea anterioară, acesta poate fi ușor transformată în ea. În cazul în care unghiul de la B pentru a reduce înălțimea părții b, se pare că lucrările din partea unei sinusul y unghiulare ale proprietăților sinus într-un triunghi dreptunghic este egală cu înălțimea triunghiului desenat de noi, care ne va da formula anterioară
• Zona arbitrara a unui triunghi poate fi găsit ca produs de jumătate din raza cercului înscris la suma lungimilor laturile sale (Formula 3), cu alte cuvinte, trebuie să fie înmulțită cu raza cercului inscris triunghiului semiperimetrul (deci este mai ușor de reținut)
• Zona arbitrara a unui triunghi poate fi găsit prin împărțirea produsului din toate cele patru laturi cu raza cercului circumscris în jurul acestuia (Formula 4)
• Formula 5 reprezintă o zonă de determinare a unui triunghi prin lungimea laturilor și timpul de înjumătățire perimetrale (jumătate din suma tuturor laturilor sale)
• Formula lui Heron (6) - o reprezentare cu aceeași formulă fără folosirea conceptului semiperimetrul numai prin lungimea laturilor
• Zona triunghi arbitrar este egală cu produsul dintre laturile pătrate ale triunghiului pe sinusuri adiacente această latură a unghiurilor împărțită la sinusul laturii dublu unghi opus acestei (Formula 7)
• Zona arbitrara a unui triunghi poate fi găsit ca produsul a două pătrate desenată în jurul său, la circumferința sinus fiecăruia dintre colțuri. (Formula 8)
• Dacă lungimea unei laturi este cunoscută și valorile două colțuri adiacentă acesteia, aria triunghiului poate fi găsit ca pătratul laturile împărțită la suma dublă cotangents aceste unghiuri (Formula 9)
• Dacă numai o lungime cunoscută a fiecăreia dintre altitudinea triunghi (Formula 10), aria triunghiului este invers proporțională cu lungimea acestor înălțimi, atât în ​​Formula Heron
• Formula 11 ne permite să se calculeze aria triunghiului la coordonatele nodurilor sale. sunt definite ca valori (x; y) pentru fiecare dintre nodurile. Rețineți că valoarea rezultată trebuie să fie luată în valoare absolută, deoarece coordonatele individului (sau chiar toate) de noduri pot fi în intervalul negativ

Notă. Următoarele sunt exemple de rezolvare prin găsirea ariei unui triunghi în geometria problemei. Dacă aveți nevoie pentru a rezolva problema de geometrie similară că nu există - scrie despre el pe forum. Deciziile funcției sqrt () poate fi utilizat în locul simbolului „rădăcină pătrată“, care sqrt - pătrat simbol rădăcină, iar în paranteze expresia sub radicalul. Uneori, simbolul poate fi utilizat pentru radicands simplu √

laturi ale triunghiului sunt egale cu 5 și 6 cm. Unghiul dintre ele este de 60 de grade. Găsiți zona triunghiului.

Pentru a rezolva această problemă folosim formula numărul doi din partea teoretică a lecției.
Zona triunghiului poate fi găsit prin lungimea celor două părți și sinusul unghiului ei Mezhuyev și este egal cu
S = 1/2 ab γ sin

Deoarece toate datele necesare pentru a soluției (conform formulei) avem, nu avem decât să înlocuiască valoarea sarcinii în ceea ce privește o formulă:
S = 1/2 * 5 * 6 * sin 60

Tabelul valorilor funcției trigonometrice pentru a găsi și înlocui valoarea de expresie a sinusului de 60 de grade. Acesta va fi egală cu rădăcina pătrată a trei de doi.
S = 15 √3 / 2

Răspuns. 7,5 √3 (în funcție de cerințele de profesorul poate părăsi, probabil, 15 și √3 / 2)

Găsiți zona unui triunghi echilateral cu laturile de 3 cm.

Suprafața unui triunghi pot fi găsite la formula lui Heron:

S = 1/4 sqrt ((a + b + c) (b + c - a) (a + c - b) (a + b -c))

Deoarece o formulă = b = c echilateral zona triunghi devine:

De câte ori va crește suprafața de triunghi, în cazul în care părțile să crească cu 4 ori?

Deoarece laturile de dimensiuni triunghi sunt necunoscute pentru noi, apoi pentru a rezolva problema, presupunem că lungimile laturilor sunt egale cu numere arbitrare a, b, c. Apoi, pentru a răspunde la întrebarea problemei, găsim aria unui triunghi, și apoi găsiți aria unui triunghi ale cărui laturi sunt de patru ori mai mult. Raportul dintre domeniile acestor triunghiuri și să ne dea răspunsul la problema.

În continuare, vom prezenta o explicație textuală a rezolva problema pas cu pas. Cu toate acestea, în final, aceeași soluție este furnizată într-o formă grafică ușor de citit. Oricine poate merge doar în jos la partea de jos a soluției.

Pentru soluții folosind formula lui Heron (vezi. Cele de mai sus, în partea teoretică a lecției). Se pare, după cum urmează:

S = 1/4 sqrt ((a + b + c) (b + c - a) (a + c - b) (a + b -c))
(A se vedea. Partea de jos a primului șir de model)

o lungime arbitrară a laturilor unui triunghi definit variabile a, b, c.
În cazul în care părțile să crească cu 4 ori, noua zonă a triunghiului să fie:

S2 = 1/4 sqrt ((4a + 4b + 4c) (4b + 4c - 4a) (4a + 4c - 4b) (4a + 4b -4C))
(A doua linie A se vedea. În figura de mai jos)

După cum se poate observa, 4 - un factor comun care pot fi luate din cele patru expresii ale regulilor generale ale matematicii.
atunci

S2 = 1/4 sqrt (4 * 4 * 4 * 4 (a + b + c) (b + c - a) (a + c - b) (a + b -c)) - pe modelul liniei a treia
S2 = 1/4 sqrt (256 (a + b + c) (b + c - a) (a + c - b) (a + b -c)) - a patra linie

Din 256 rădăcină pătrată perfect extras, așa că l-am realizat din rădăcină
S2 = 16 * 1/4 sqrt ((a + b + c) (b + c - a) (a + c - b) (a + b -c))
S2 = 4 sqrt ((a + b + c) (b + c - a) (a + c - b) (a + b -c))
(A se vedea. A cincea linie de desen de mai jos)

Pentru a răspunde la întrebarea adresată în problema, trebuie să împartă aria unui triunghi, pe zona inițială.
Definim raportul dintre domeniile, împărțirea expresiei pe cealaltă și reducerea fracției rezultată.

S2 / S = 16
(A se vedea mai jos detaliază înregistrarea ca o fracție și reducerea acestuia -. În ultima linie)

soluții logice Figura calcul descrise mai sus, este prezentată deja în formă de (unul după altul)

Răspuns. Zona triunghiului va crește de 16 ori